Question

9．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+cos（2x-\frac{π}{6}），x∈R$．
（1）求$f（\frac{π}{4}）$的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）通過三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
（2）利用（1）的函數(shù)的解析式，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+cos（2x-\frac{π}{6}）$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x$
=2（$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
所以：f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）=1；
（2）由于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-2，2]．
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
整理得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{12}$（k∈Z），
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{5π}{12}+kπ，kπ+\frac{π}{12}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的值域，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．