Question

17．已知a•$\sqrt{^{2}+1}$=4，則a²+2b²的最小值為8$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由條件可得a²（2b²+2）=32，運(yùn)用基本不等式求得a²+（2b²+2）的最小值8$\sqrt{2}$，即可得到所求最小值．

解答 解：a•$\sqrt{^{2}+1}$=4，可得：
a²（b²+1）=16，
即a²（2b²+2）=32，
則a²+（2b²+2）≥2$\sqrt{{a}^{2}（2^{2}+2）}$=2$\sqrt{32}$=8$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a²=2b²+2=4$\sqrt{2}$，取得等號，
可得a²+2b²的最小值為8$\sqrt{2}$-2．
故答案為：8$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用變形和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．