Question

7．（1）已知x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求證：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥5+2$\sqrt{6}$；
（2）已知a，b，c均為正數(shù)，求證：$\frac{a}{bc}$+$\frac{ca}$+$\frac{c}{ab}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）將$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$乘以（2x+3y）展開后使用基本不等式即可得出結(jié)論；
（2）將左側(cè)的任意兩項組合使用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵2x+3y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+3y）=2+3+$\frac{3y}{x}+\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{2x}{y}}$=5+2$\sqrt{6}$；
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3y}{x}=\frac{2x}{y}$時取等號．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥5+2$\sqrt{6}$．
（2）∵$\frac{a}{bc}+\frac{ac}$≥2$\sqrt{\frac{a}{bc}•\frac{ac}}$=$\frac{2}{c}$，$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}$≥2$\sqrt{\frac{a}{bc}•\frac{c}{ab}}$=$\frac{2}$，$\frac{ca}+\frac{c}{ab}$≥2$\sqrt{\frac{ca}•\frac{c}{ab}}$=$\frac{2}{a}$．
∴2$\frac{a}{bc}$+2$\frac{ca}$+2$\frac{c}{ab}$≥$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{2}{c}$．當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{bc}=\frac{ca}=\frac{c}{ab}$時取得等號．
∴$\frac{a}{bc}$+$\frac{ca}$+$\frac{c}{ab}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

點評 本題考查了不等式的證明，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．