Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1（x∈R）；
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若f（B）=0，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，且a+c=4，試求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦化簡(jiǎn)，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求得x的范圍求得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把f（B）=0代入函數(shù)解析式，求得B，展開(kāi)數(shù)量積$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求得ac的值，結(jié)合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由f（B）=$2sin（2B+\frac{π}{6}）-1$=0，得$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∴$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∵B是三角形內(nèi)角，∴B=$\frac{π}{3}$．
而$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=ac•cosB=$\frac{3}{2}$，∴ac=3．
又a+c=4，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=16-2×3=10．
∴b²=a²+c²-2ac•cosB=7．
則b=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用余弦定理求解三角形，是中檔題．