【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解下列問題：

（Ⅰ）求證：異面直線與互相垂直；

（Ⅱ）求二面角（鈍角）的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由各面間的垂直關(guān)系，可建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，利用兩者數(shù)量積為可證異面直線 與互相垂直；（Ⅱ）通過空間向量間的運(yùn)算，求出平面的法向量，平面，得出平面的法向量為．進(jìn)一步利用二面角與兩平面法向量夾角間的關(guān)系求出二面角的余弦值．

試題解析：

證：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系

設(shè)，則.

（Ⅰ）證明：由上可知：， ，

所以,所以，所以，異面直線與互相垂直.

（Ⅱ）解： ，

設(shè)平面的法向量為，則有

，， ，

取，得

又因?yàn)?/span>平面，所以平面的法向量為，分

因?yàn)槎娼?/span>是鈍角，所以，二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“類對稱點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，試問是否存在“類對稱點(diǎn)”，若存在，請至少求出一個(gè)“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一個(gè)圓．

(1) 求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2) 求該圓半徑r的取值范圍；

(3) 求該圓心的縱坐標(biāo)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左焦點(diǎn)為，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為直線上一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于， ．當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求四邊形的面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米．池底每平方米的造價(jià)為120元，池壁每平方米的造價(jià)為100元．設(shè)池底長方形的長為x米．

（Ⅰ）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；

（Ⅱ）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航，某時(shí)刻航行至處，此時(shí)測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只，且島位于海監(jiān)船正東海里處。

（Ⅰ）求此時(shí)該外國船只與島的距離；

（Ⅱ）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時(shí)海里的速度沿正南方向航行。為了將該船攔截在離島海里處，不讓其進(jìn)入島海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值．

（參考數(shù)據(jù)： ， ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(其中是實(shí)數(shù))

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn),,求取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，A（－3，－10），

B (－2，－1)，C(3，4)，

（1）求邊AD和CD所在的直線方程；

（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線CD上，求證為等比數(shù)列．

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