Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為棱AD、，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面C₁BD；
（Ⅱ）求證：平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明EF∥BD，再利用線面平行的判定定理證明EF∥平面C₁BD；
（Ⅱ）證明BD⊥平面CAA₁C₁，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

解答： 證明：（Ⅰ）∵E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，
∴EF∥BD…（3分）
又∵EF?面C₁BD，BD?面C₁BD…（4分）
∴EF∥面C₁BD…（5分）
（Ⅱ）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴AA₁⊥BD…（7分）
∵AC⊥BD，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面CAA₁C₁，
∵BD?平面C₁BD，
∴平面CAA₁C₁⊥平面C₁BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，（Ⅰ）中的關(guān)鍵是證明EF∥BD，（Ⅱ）中的關(guān)鍵是證明BD⊥平面CAA₁C₁．