Question

已知函數f（x）=x²+（k-3）x+2-k．
（1）證明：函數f（x）至少有一個零點；
（2）對任意k∈[-1，1]，f（x）恒大于零，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令f（x）=0，得到判別式大于等于0，從而得到結論；（2）令g（k）=（x-1）k+x²-3x+2，通過討論x的范圍，得到不等式組，解出即可．

解答： 證明：（1）令x²+（k-3）x+2-k=0，
∵△=（k-1）²≥0，
∴函數f（x）至少有一個零點．                 　　　　　  
（2）令g（k）=（x-1）k+x²-3x+2，
當x=1時，g（k）=0，不滿足條件，舍去，
當x≠1時，由題意得

g(-1)＞0 g(1)＞0

，
即

x2-4x+3＞0 x2-2x+1＞0

，
解得：x＞3或x＜1，
綜上所述：滿足條件的x的取值范圍為：{x|x＞3或x＜1}．

點評：本題考查了函數的零點問題，考查了二次函數的性質，是一道基礎題．