Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求g（x）=xf（x），求函數(shù)y=g（x）的極值；
（2）判斷函數(shù)h（x）=x²f（x）+x的單調(diào)性，并證明；
（3）若對任意兩個互不相等的正數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{{{f（x}_{1}）-f（x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜kf′（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$）恒成立，求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)g（x）的極值；
（2）根據(jù)g（x）的范圍求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）所證問題轉(zhuǎn)化為ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜k（$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$-$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$），（*）令$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=t，則（*）?2lnt＜k（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），設(shè)φ（t）=k（t-$\frac{1}{t}$）＞-2lnt，則原命題等價于φ（t）=k（t-$\frac{1}{t}$）-2lnt＞0在（1，+∞）上恒成立，通過討論k的范圍，得到函數(shù)φ（x）的單調(diào)性，從而求出k的最小值．

解答 解：（1）g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，
由g′（x）=0得x=$\frac{1}{e}$，

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	遞減	-$\frac{1}{e}$	遞增

從上表中可知，y=g（x）的極小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，無極大值；
（2）函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
h（x）=x²lnx+x，h′（x）=2xlnx+x+1，
由（1）得：g（x）=xlnx≥-$\frac{1}{e}$，且x＞0，
∴h′（x）=2xlnx+x+1＞0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（3）不妨設(shè)x₁＜x₂，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜kf′（$\sqrt{{x}_{1}{•x}_{2}}$）
?$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜$\frac{k}{\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}}$
?ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜k•$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}}$=k（$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$-$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$），（*），
令$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=t，則（*）?2lnt＜k（t-$\frac{1}{t}$），（t＞1），
設(shè)φ（t）=k（t-$\frac{1}{t}$）＞-2lnt，
則原命題等價于φ（t）=k（t-$\frac{1}{t}$）-2lnt＞0在（1，+∞）上恒成立，
φ′（t）=$\frac{{kt}^{2}-2t+k}{{t}^{2}}$，
①當k≤0時，φ′（t）≤0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，φ（t）＜φ（1）=0，
故k≤0不符合題意；
②當k＞0時，
（i）當△=4-4k²≤0，即k≥1時，φ′（t）≥0，φ（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
φ（t）＞φ（1）=0，故k≥1符號題意；
（ii）當0＜k＜1時，△=4-4k²＞0，
設(shè)方程kt²-2t+k=0的兩根分別是t₁，t₂，且t₁＜t₂，
則0＜t₁＜1＜t₂且當t∈（1，t₂]時，φ′（t）≤0，當t∈[t₂，+∞）時，φ′（t）≥0，
∴φ（t）在[1，t₂）上單調(diào)遞減，在（t₂，+∞）上單調(diào)遞增，
故φ（t₂）＜φ（1）=0與φ（t）＞0在（1，+∞）是恒成立矛盾，
故0＜k＜1不符號題意，
綜上，實數(shù)k的最小值為1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，考查換元思想、分類討論思想，第（3）問較復(fù)雜，解題時仔細謹慎，本題屬于難題．