Question

10．過(guò)點(diǎn)P（-1，2）的動(dòng)直線交圓C：x²+y²=3于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作圓C的切線，若兩切線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡為（　�。�

• A． 直線的一部分
• B． 圓的一部分
• C． 橢圓的一部分
• D． 拋物線的一部分

Answer 1

分析 根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得，Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與過(guò)A點(diǎn)切線的交點(diǎn)．由此設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式，分別求出直線AQ、CQ方程，兩個(gè)方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程，再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi)，可得Q軌跡是直線的一部分．

解答 解：設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可得，Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn)，
∵圓x²+y²=3的圓心為C（0，0）
∴切線AQ的斜率為k₁=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=-$\frac{m}{n}$，得AQ方程為y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），化簡(jiǎn)得y=-$\frac{m}{n}$x+$\frac{3}{n}$…①
又∵直線PA的斜率k_PA=$\frac{n-2}{m+1}$，
∴直線CQ的斜率k₂=-$\frac{1}{{k}_{PA}}=\frac{m+1}{2-n}$，
得直線CQ方程為y=$\frac{m+1}{2-n}$x…②
①②聯(lián)立，消去m、n得x-2y+3=0，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程．
由于直線x-2y+3=0與圓C：x²+y²=3相交，
∴直線位于圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)除外．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題求過(guò)P的圓的割線構(gòu)成的兩條切線的交點(diǎn)Q的軌跡．著重考查了圓的性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．