Question

3．（1）已知不等式|2x+t|-t≤8的解集是{x|-5≤x≤4}，求實數(shù)t；
（2）已知實數(shù)x，y，z滿足x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{9}$z²=2，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析 （1）由不等式|2x+t|-t≤8求得它的解集，再根據(jù)它的解集是{x|-5≤x≤4}，求得實數(shù)t的值．
（2）由條件利用柯西不等式求得x+y+z的最大值．

解答 解：（1）由不等式|2x+t|-t≤8，可得-8-t≤2x+t≤t+8，求得-4-t≤x≤4．
結合它的解集是{x|-5≤x≤4}，可得實數(shù)t=1．
（2）∵實數(shù)x，y，z滿足x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{9}$z²=2，
利用柯西不等式得[x²+${（\frac{y}{2}）}^{2}$+${（\frac{z}{3}）}^{2}$]•[1+4+9]=2×14≥（x+y+z）²，
求x+y+z≤$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，故x+y+z的最大值為2$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式的應用，屬于中檔題．