Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n（k∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）若b_n=log₂（$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$），又?jǐn)?shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為b_n，求數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用恒等式a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，可得通項(xiàng)；
（2）求得b_n=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，運(yùn)用通項(xiàng)和求和的關(guān)系，可得c_n=n-3，再討論當(dāng)n≤3時(shí)，當(dāng)n＞3時(shí)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1•2•4•…•2^n-1=2^1+2+…+n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
可得a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（2）b_n=log₂（$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$）=log₂${2}^{\frac{{n}^{2}-5n}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=b₁=-2；
當(dāng)n＞1時(shí)，c_n=b_n-b_n-1=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}-5（n-1）}{2}$
=n-3．對(duì)n=1也成立，
則c_n=n-3，
當(dāng)n≤3時(shí)，前n項(xiàng)和S_n=-b_n=$\frac{5n-{n}^{2}}{2}$；
當(dāng)n＞3時(shí)，S_n=b_n-2b₃=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$+6=$\frac{{n}^{2}-5n+12}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查累乘法的運(yùn)用和分類討論的思想方法，屬于中檔題．