Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 若過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)為F，
若過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率$\frac{a}$，
即有$\frac{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{4}{3}$，
∴e≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查離心率的范圍的求法，解題時(shí)要注意漸近線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．