Question

12．如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．

（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角α的最大值是多少；
（2）現(xiàn)需要倒出不少于3000cm³的溶液，當α=60°時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，且點F在線段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器內溶液的體積，列出不等式求出溶液不會溢出時α的最大值；
（2）當α=60°時，過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，則點F在線段AB上，溶液縱截面為Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出結論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖a所示，
過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，
在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，
且點F在線段AD上，AF=30-20tanα，
此時容器內能容納的溶液量為：
S_梯形ABCF•20=$\frac{（AF+BC）•AB}{2}$•20
=（30-20tanα+30）•20•10
=2000（6-2tanα）（cm³）；
而容器中原有溶液量為20×20×20=8000（cm³），
令2000（6-2tanα）≥8000，
解得tanα≤1，
所以α≤45°，
即α的最大角為45°時，溶液不會溢出；
（2）如圖b所示，當α=60°時，
過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，
在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10$\sqrt{3}$cm，
∴點F在線段AB上，故溶液縱截面為Rt△CBF，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$BC•BF=150$\sqrt{3}$cm²，
容器內溶液量為150$\sqrt{3}$×20=3000$\sqrt{3}$cm³，
倒出的溶液量為（8000-3000$\sqrt{3}$）cm³＜3000cm³，
∴不能實現(xiàn)要求．

點評 本題考查了棱柱的體積在生產(chǎn)生活中的實際應用問題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是綜合性題目．