Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，前n項和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{

1

an+1an

}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得T_n＜

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2015

？若存在，求n的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求出公差，然后求出通項公式．
（Ⅱ）利用a_n=1時，T_n=n≥1，此時不存在正整數(shù)n，使得Tn＜

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；當(dāng)a_n=2n-1時，利用裂項法求出T_n，通過Tn＜

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，解得n＜1007．得到n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，1，2+d，4+6d成等比數(shù)列，
所以（2+d）²=4+6d，即d²-2d=0，所以d=0或d=2．
因此，當(dāng)d=0時，a_n=1；當(dāng)d=2時，a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a_n=1時，T_n=n≥1，此時不存在正整數(shù)n，使得Tn＜

1007

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；
當(dāng)a_n=2n-1時，Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由Tn＜

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，得

n

2n+1

＜

1007

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，解得n＜1007．
故n的最大值為1006．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．