Question

6．已知三個互不相等的整數(shù)x、y、z之和在區(qū)間（40，44）內(nèi)，若x、y、z依次構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，x+y，y+z，z+x依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則d•q的值為42．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，可得x+z=2y，由x+y+z的范圍，可得y=14，再由等比數(shù)列的中項的性質(zhì)可得d的方程，解方程可得d=-84，再由等比數(shù)列的定義可得q，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得x+y+z∈（40，44），且x，y，z互不相等，
由x、y、z依次構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，
可得x+z=2y，即有3y∈（40，44），即y∈（$\frac{40}{3}$$\frac{44}{3}$），
由y為整數(shù)，可得y=14，
可得x=14-d，z=14+d，
由x+y，y+z，z+x依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，
可得（y+z）²=（x+y）（x+z），
即有（14+14+d）²=（14-d+14）（14-d+14+d），
化簡可得d²+84d=0，解得d=-84（0舍去），
即有q=$\frac{y+z}{x+y}$=$\frac{14+14-84}{14+84+14}$=-$\frac{1}{2}$，
則d•q=（-84）•（-$\frac{1}{2}$）=42．
故答案為：42．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．