Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{6}$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．

Answer 1

分析 由已知求出$|\overrightarrow{a}|$，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），利用數(shù)量積為0求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再結(jié)合|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{6}$，求出$|\overrightarrow|$，最后求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|可求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（1，3），得$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$，
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×10=5$．
又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{6}$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}=24$，
即$10+10+|\overrightarrow{|}^{2}=24$，∴$|\overrightarrow{|}^{2}=4$．
則$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$=$（\sqrt{10}）^{2}-2×5+4=4$．
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．
故答案為：2．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是明確${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，是基礎(chǔ)的計算題．