Question

9．某高中有甲、乙兩個(gè)生物興趣小組，分別獨(dú)立開展對(duì)一種海洋生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為$\frac{3}{4}$，乙組能使生物成活的概率為$\frac{1}{3}$，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．
（1）甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；
（2）若甲．乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)甲小組做了三次實(shí)驗(yàn)，至少兩次試驗(yàn)成功為事件A，則P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$，即可得出；
（2）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式及其分布列、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)甲小組做了三次實(shí)驗(yàn)，至少兩次試驗(yàn)成功為事件A，則
P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{32}$，
（2）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{144}$，
P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{28}{144}$，
P（ξ=2）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{61}{144}$，
P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{42}{144}$，
P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{9}{144}$．
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{4}{144}$	$\frac{28}{144}$	$\frac{61}{144}$	$\frac{42}{144}$	$\frac{9}{144}$

∴E（ξ）=0×$\frac{4}{144}$+1×$\frac{28}{144}$+2×$\frac{61}{144}$+3×$\frac{42}{144}$+4×$\frac{9}{144}$=$\frac{13}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．