Question

4．求下列函數的最大值與最小值
（1）f（x）=lnx+ln（2-x），x∈[$\frac{1}{2}$，1]；
（2）f（x）=x³-3x²+2，x∈[-1，3]．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=lnx（2-x），從而再討論二次函數x（2-x）=-（x-1）²+1的取值范圍，從而求最值；
（2）求導f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），從而由導數確定f（x）在[-1，0]上是增函數，在[0，2]上是減函數，在[2，3]上是增函數；從而求最值．

解答 解：（1）f（x）=lnx+ln（2-x）=lnx（2-x），
x（2-x）=-（x-1）²+1，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{3}{4}$≤-（x-1）²+1≤1，
∴l(xiāng)n$\frac{3}{4}$≤f（x）≤ln1=0；
故最大值為0，最小值為ln$\frac{3}{4}$；
（2）∵f（x）=x³-3x²+2，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在[-1，0]上是增函數，在[0，2]上是減函數，在[2，3]上是增函數；
且f（-1）=-1-3+2=-2，f（0）=2，f（2）=8-12+2=-2，f（3）=27-27+2=2；
故最大值為2，最小值為-2．

點評 本題考查了二次函數的性質應用及復合函數的應用，同時考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．