Question

18．若實(shí)數(shù)x，y滿足|x-3|≤y≤1，則z=$\frac{2x+y}{x+y}$的最小值為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 把已知的不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，然后作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為含有$\frac{y}{x}$的代數(shù)式，然后由$\frac{y}{x}$的幾何意義求出其范圍，代入目標(biāo)函數(shù)求得目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解答 解：依題意，得實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$，畫出可行域如圖所示，

其中A（3，0），C（2，1），
z=$\frac{2x+y}{x+y}$=$\frac{x+y}{x+y}+\frac{x}{x+y}=1+\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，
則OC的斜率最大為k=$\frac{1}{2}$，OA的斜率最小為k=0，
則0≤k≤$\frac{1}{2}$，則1≤k+1≤$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$≤1，
故$\frac{5}{3}$≤1+$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$≤2，
故z=$\frac{2x+y}{x+y}$的最小值為$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線斜率的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．是中檔題．