Question

在xOy平面上有一系列的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對(duì)于所有正整數(shù)n，點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)P_n為圓心的圓P_n與x軸相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切，且x_n+1＜x_n．則

lim

n→∞

nxn等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由題意圓P_n與P_n+1彼此外切，利用兩圓外切等價(jià)于兩圓心距等于圓的半徑和，化簡(jiǎn)出數(shù)列{x_n}的遞推關(guān)系，進(jìn)而得到數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n及nx_n，由數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)可求答案．

解答： 解：圓P_n與P_n+1彼此外切，令r_n為圓P_n的半徑，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1，
兩邊平方并化簡(jiǎn)得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1，
由題意得，圓P_n的半徑r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0，∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
即

1

xn+1

-

1

xn

=2(n∈N*)，
∴數(shù)列{

1

xn

}是以

1

x1

為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴

1

xn

=

1

x1

+（n-1）×2=2n-2+

1

x1

，
∴xn=

1

2n-2+ 1 x1

，nxn=

n

2n-2+ 1 x1

，

lim

n→∞

nxn=

lim

n→∞

n

2n-2+ 1 x1

=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了兩元相外切的等價(jià)條件，還考查了有關(guān)數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)．