Question

已知函數(shù)f（x）=|x|．
（1）解關(guān)于x不等式f（x-1）≤a（a∈R）；
（2）若不等式f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

1-a

對任意a∈（0，1）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式可化為：|x-1|≤a，對a分類討論，求得它的解集．
（2）利用基本不等式求得

1

a

+

1

1-a

的最小值為4，問題等價于|x+1|+|2x|≤4．去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答： （1）不等式可化為：|x-1|≤a，
當(dāng)a＞0時，解集為{x1-a≤x≤1+a}；
當(dāng)a=0時，解集為{x|x=1}；
當(dāng)a＜0時，解集為∅．
（2）由f（x+1）+f（2x）≤

1

a

+

1

1-a

得：|x+1|+|2x|≤

1

a

+

1

1-a

．
∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，
∴

1

a

+

1

1-a

=

1

a(1-a)

≥

1

[ a+(1-a) 2 ]2

=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=1-a，即a=

1

2

時取“=”．
∴問題等價于|x+1|+|2x|≤4，
∴

x≤-1 -3x-1≤4

 ①，或

-1≤x＜0 1-x≤4

②，或

x＞0 3x+1≤4

．
解得-

5

3

≤x≤1，即x的取值范圍是{x|-

5

3

≤x≤1}．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．