Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0\\{2}^{x}，x≤0\end{array}\right.$，則f（f（9））=$\frac{1}{4}$，若f（a）$＞\frac{1}{2}$，則實數(shù)a的取值范圍是（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)先求f（9）=-2，再求f（-2）；對a討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，最后求并集即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0}\\{{2}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，
即有f（9）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}9$=-2，
f（f（9））=f（-2）=2^-2=$\frac{1}{4}$，
f（a）＞$\frac{1}{2}$即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{{2}^{a}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，
即有0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-1＜a≤0，
即有-1＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$，（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用：求函數(shù)值和解不等式，同時考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．