Question

18．若x，y＞0，且x+y＞2，求證：$\frac{1+x}{y}，\frac{1+y}{x}$至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

分析 本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．

解答 證明：假設(shè)$\frac{1+x}{y}≥2，\frac{1+y}{x}≥2$．即 $\left\{\begin{array}{l}1+x≥2y\\ \\ 1+y≥2x\end{array}\right.$
∴2+x+y≥2x+2y
∴x+y≤2，這與x+y＞2矛盾．
∴假設(shè)不成立
∴$\frac{1+x}{y}，\frac{1+y}{x}$至少有一個(gè)小于2．

點(diǎn)評(píng) 本考點(diǎn)是反證法證明命題，在作證明題時(shí)，對(duì)于一些條件相對(duì)較少或者證明時(shí)需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．對(duì)于有些題如本題，用反證法證明可以大大降低題目的解決難度．