Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）結(jié)合的定義域，以及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的情況，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)為，從而求出對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

（2）由（1）可知，只有當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即為的極大值點(diǎn).要使得極大值，等價(jià)轉(zhuǎn)化為使得，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，即可得求得的范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

①當(dāng)時(shí)，，∵ ∴

∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.

② 當(dāng)時(shí)，令得， .

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)， ，

∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為

，.

若，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，則，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）解：由(1)得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

則有極大值，其值為， 其中.

而，∴

設(shè)函數(shù)，則，

則在上為增函數(shù).

又，故等價(jià)于.

因而 等價(jià)于.

即在時(shí)，方程的大根大于1，

設(shè)，由于的圖象是開口向下的拋物線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸，則只需，即

解得，而，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.