Question

16．如圖1，2，已知ABCD是矩形，M，N分別為邊AD，BC的中點，MN與AC交于點O，沿MN將矩形MNCD折起，設(shè)AB=2，BC=4，二面角B-MN-C的大小為θ．
（1）當(dāng)θ=90°時，求cos∠AOC的值；
（2）點θ=60°時，點P是線段MD上一點，直線AP與平面AOC所成角為α．若$sinα=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，求線段MP的長．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)E為AB的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）求出$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，利用向量方法，即可求cos∠AOC的值；
（2）求出平面AOC的法向量，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=（λ-2，0，\sqrt{3}λ）$，利用直線AP與平面AOC所成角為α，若$sinα=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，求線段MP的長．

解答 解：如圖，設(shè)E為AB的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)θ=90°時，A（2，-1，0），C（0，1，2），∴$\overrightarrow{OA}=（2，-1，0）$，$\overrightarrow{OC}=（0，1，2）$，∴$cos∠AOC=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}}=-\frac{1}{5}$．
（2）由θ=60°得$C（1，1，\sqrt{3}）$，$D（1，-1，\sqrt{3}）$，M（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{MD}=（1，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)$\overrightarrow{MP}=λ\overrightarrow{MD}（0≤λ≤1）$，則$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=（λ，-1，\sqrt{3}λ）$，
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=（λ-2，0，\sqrt{3}λ）$，
設(shè)平面AOC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow n•\overrightarrow{OA}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{OC}=0$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（1，2，-\sqrt{3}）$，
由題意，得$|\frac{{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow n|}}|=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，即3λ²-10λ+3=0，∴$λ=\frac{1}{3}$或λ=3（舍去），
∴在線段MD上存在點P，且$MP=\frac{1}{3}MD=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線線角，線面角，考查向量方法的運(yùn)用，正確求向量是關(guān)鍵．