Question

8．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出cosx的取值范圍，求出x的取值范圍和f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{3}$
=$\frac{1}{2}$sin$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{2x}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{{\frac{2}{3}}}=3π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{2x}{3}+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得$3kπ-\frac{5π}{4}≤x≤3kπ+\frac{π}{4}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[3kπ-\frac{5π}{4}，3kπ+\frac{π}{4}]$（k∈Z）；
（2）△ABC中，b²=ac，
∴$cosx=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，即$cosx≥\frac{1}{2}$；
又x∈（0，π），∴x的取值范圍是$（0，\frac{π}{3}]$；
由（1）知f（x）在$（0，\frac{π}{4}]$上遞增，在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$上遞減；
又$f（\frac{π}{3}）=sin\frac{5π}{9}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin\frac{4π}{9}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}＞sin\frac{π}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=f（0）$，
∴f（0）＜f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），
即$\sqrt{3}$＜f（x）≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
此時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?（\sqrt{3}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換和余弦定理的應(yīng)用問題，是中檔題．