Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx的定義域是（0，+∞），關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）存在最小值；
②對于任意a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
③存在a∈（-∞，0），使得對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（0，+∞），使得函數(shù)f（x）有兩個零點．
其中正確命題的序號是①④．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)，若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零；在開區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點則對應(yīng)方程有根．

解答 解：由對數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域為：（0，+∞），f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，
①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$=0，可以判斷函數(shù)有最小值，①正確，
②∵a∈（-∞，0）∴f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$≥0，是增函數(shù)．所以②錯誤，
③畫出函數(shù)y=e^x，y=-alnx的圖象，如圖：顯然不正確．

④令函數(shù)y=e^x是增函數(shù)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e^x-alnx=0有兩個根，正確．
故答案為：①④．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題．