設(shè)△ABC的三邊分別是a、b、c，且a+b+c=3，求證：3≤a2+b2+c2＜
9
2
．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：利用余弦定理和乘法公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即可證明右邊；利用3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，即可證明左邊．
解答： 解：先證明右邊：∵a2+b2-2abcosC=c2，a2+c2-2accosB=b2，b2+c2-2bccosA=a2，
∴a2+b2+c2=2abcosC+2accosB+2bccosA＜2ab+2ac+2bc，
∴2（a2+b2+c2）＜（a+b+c）2=32=9，
∴a2+b2+c2＜
9
2
，即右邊成立．
再證明左邊：∵（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2ac+2bc，
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=32，
∴a2+b2+c2≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)，即左邊成立．
綜上可知：3≤a2+b2+c2＜
9
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理、乘法公式和“放縮法”的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求曲線y=cosx與直線x=
π
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、x=
3π
2
、y=0所圍成的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸直線x=-1交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S△PAC=2S△DAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠MAC=∠ADE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
22x-1
．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）若x∈[1，
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]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三梭錐A一BDP的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合A={x|x是奇數(shù)}，集合B={x∈R|x=4n±1，n∈Z}，則集合A，B之間的關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若ax2+2x-3=0在（0，1）與（-
1
2
，0）內(nèi)分別恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一次拋擲不同的兩枚骰子，則恰好出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果的種數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合B={1，2}，A={x|x⊆B}，則A與B的關(guān)系是
 
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同步練習(xí)冊(cè)答案