Question

9．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|-|x-1|
（Ⅰ）求函數(shù)f的圖象與直線y=1圍成的封閉圖形的面積m
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若正數(shù)a、b滿足a+2b=abm，求a+2b的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先將函數(shù)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后繪制函數(shù)的圖象，結(jié)合特殊的坐標(biāo)即可求得面積值；
（2）利用（1）的結(jié)果結(jié)合均值不等式的結(jié)論求解最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2|x+1|-|x-1|=\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≤-1}\\{3x+1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≥1}\end{array}\right.$，它的圖象如圖所示：



函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1的交點(diǎn)為（-2，1），（0，1），
故函數(shù)f（x）的圖象和直線y=1圍成的封閉圖形的面積 $m=\frac{1}{2}×4×3=6$．
（2）由題意可得：a+2b=6ab，則 $\frac{1}+\frac{2}{a}=6$，則：
$（a+2b）（\frac{1}+\frac{2}{a}）=\frac{a}+\frac{4b}{a}+4≥2\sqrt{\frac{a}×\frac{4b}{a}}+4=8$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{2}{3}，b=\frac{1}{3}$ 時(shí)等號(hào)成立，
則x+2b的最小值是$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)問題，函數(shù)圖象的繪制，均值不等式的應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．