Question

已知圓，若橢圓

的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若存在直線l:y=kx，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段AB上，且，求圓M的半徑r的取值范圍.

Answer 1

（1） （2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓心可得a值，進(jìn)而由離心率可得c值，根據(jù)平方關(guān)系可得b值；（2）由點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|及對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)H不在線段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，設(shè) ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得|AB|，在圓中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根據(jù)|AB|=|GH|得r，k的方程，分離出r后按k是否為0進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r范圍；

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106012038037411/SYS201507110601260055163116_DA/SYS201507110601260055163116_DA.005.png">

所以橢圓的方程為;

（2）設(shè)，

聯(lián)立方程得

所以

則

又點(diǎn)到直線的距離， 則

顯然，若點(diǎn)也在線段上，則由對(duì)稱(chēng)性可知，直線就是y軸,與已知矛盾，所以要使,只要，所以

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，3，

又顯然，所以,

綜上，圓的半徑的取值范圍是.

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系