Question

19．已知F₁、F₂是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右兩個焦點(diǎn)，P是雙曲線上的動點(diǎn)，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是0＜r＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2，轉(zhuǎn)化為|HF₁|-|HF₂|=2，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，確定0°＜∠IF₁H＜30°，即可求出△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

解答 解：如圖所示：F₁（-2，0）、F₂（2，0），
設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，
PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M、N，
∵由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2，
由圓的切線長定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2，
即|HF₁|-|HF₂|=2，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心I橫坐標(biāo)為x，內(nèi)切圓半徑r，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，
故 （x+c）-（c-x）=2，∴x=1，
∵雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的漸近線的方程為y=±$\sqrt{3}$x，
∴0°＜∠PF₁H＜60°，
∴0°＜∠IF₁H＜30°，
∴0＜$\frac{r}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜r＜$\sqrt{3}$．
故答案為：0＜r＜$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、切線長定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．