Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為橢圓異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，定直線x=4與直線PA、PB分別交于M、N兩點(diǎn)，又E（7，0），過(guò)E、M、N三點(diǎn)的圓是否過(guò)x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），由橢圓方程和直線的斜率公式，以及兩直線垂直的條件，計(jì)算即可得證．

解答 解：（1）離心率e=$\frac{1}{2}$，即為$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又橢圓過(guò)點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$），
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即有y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
設(shè)PA，PB的斜率為k₁，k₂，
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
設(shè)PA：y=k₁（x+2），
則M（4，6k₁），
PB：y=k₂（x-2），則N（4，2k₂），
又k_EM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_EN=-$\frac{2}{3}$k₂，k_EM•k_EN=-1，
設(shè)圓過(guò)定點(diǎn)F（m，0），則$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，
解得m=1或m=7（舍去），
故過(guò)點(diǎn)E，M，N三點(diǎn)的圓是以MN為直徑的圓過(guò)F（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用，圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，屬于中檔題．