Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=$\frac{a}{a-1}（{{a_n}-1}）$，a為常數(shù)，且a≠0，a≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a=$\frac{1}{3}$，設b_n=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{1-{a_{n+1}}}}$，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）當$a=\frac{1}{3}$時，${a_n}=\frac{1}{3^n}$，可得b_n=$\frac{1}{{{3^n}+1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}$．由$\frac{1}{{{3^n}+1}}＜\frac{1}{3^n}$，$\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}＞\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，可得b_n$＜\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{{3}^{n+1}}$．即可證明．

解答 （1）解：∵${a_1}={S_1}=\frac{a}{a-1}（{a_1}-1）$，（a≠0，a≠1）．
∴a₁=a．
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{a}{a-1}{a_n}-\frac{a}{a-1}{a_{n-1}}$，
得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=a$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列．
∴${a_n}=a•{a^{n-1}}={a^n}$．
（2）證明：當$a=\frac{1}{3}$時，
∴${b_n}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{1-{a_{n+1}}}}$
=$\frac{{\frac{1}{3^n}}}{{1+\frac{1}{3^n}}}-\frac{{\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}{{1-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}$
=$\frac{1}{{{3^n}+1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}$．
由$\frac{1}{{{3^n}+1}}＜\frac{1}{3^n}$，
∴b_n=$\frac{1}{{{3^n}+1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}＜\frac{1}{3^n}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$．
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜（{\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}}）+（{\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}}）+…+（{\frac{1}{3^n}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$．
∵$-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}＜0$，
∴$\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}＜\frac{1}{3}$，
即${T_n}＜\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了遞推式與等比數(shù)列的通項公式、“放縮法”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．