Question

16．如果一元二次方程x²-2（a-3）x-b²+9=0中a、b分別是投擲各面上標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體玩具所得的數(shù)字．
（1）求x=0是該方程的解的概率；
（2）求該方程有實(shí)數(shù)解的概率；
（3）求該方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解的概率．

Answer 1

分析 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，總件數(shù)由分步計(jì)數(shù)原理知是36，再求出滿(mǎn)足條件的事件數(shù)，（3）在整理時(shí)要借助于根與系數(shù)之間的關(guān)系，根的判別式，要進(jìn)行討論得到結(jié)果．

解答 解：（1）擲骰子所產(chǎn)生的a，b的總的可能組合有：6×6=36，x=0是該方程的解，則b=3，
∴x=0是該方程的解的概率為$\frac{6×1}{36}$=$\frac{1}{6}$；
（2）方程有實(shí)數(shù)解，則判別式=4（a-3）²-4（-b²+9）≥0，
∴（a-3）²+b²≥9，∴b=1，a=6，b=2，a=6，b=3，a=1，2，3，4，5，6，共，8種情況，
∴該方程有實(shí)數(shù)解的概率為$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$；
（3）方程的兩根要大于0，由韋達(dá)定理得 2（a-3）＞0，-b²+9＞0 解得a＞3，b＜3
若b=2，9-b²=5，要使方程有兩個(gè)正根，判別式=4（a-3）²-4×5＞0 （a-3）²＞5，解得，a=6；
若b=1，9-b²=8，判別式=4（a-3）²-4×8＞0，（a-3）²＞8，解得，a=6
故a，b只有兩種情況滿(mǎn)足要求：a=6，b=1，2
而投擲骰子所產(chǎn)生的a，b的總的可能組合有：6×6=36 所以有兩個(gè)正根的概率是：$\frac{2}{36}$=$\frac{1}{18}$，

點(diǎn)評(píng) 解決古典概型問(wèn)題時(shí)，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)