Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，a₁=3且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{n•k_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)的公差為d，通過${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，及a₁=3，可得a_n=3n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{{k}_{n}}=3{k}_{n}$，利用數(shù)列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁為首項，3為公比的等比數(shù)列，得${k}_{n}={3}^{n-1}$，由此可得S_n及3S_n，相減即得${S}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{{3}^{n}}{4}（2n-1）$．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)的公差為d，由題意，${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，于是d（a₁-d）=0，
因為d≠0，且a₁=3，所以d=3，故a_n=3n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{{k}_{n}}=3{k}_{n}$，
又?jǐn)?shù)列{${a}_{{k}_{n}}$}是以a₁為首項，3為公比的等比數(shù)列，則${a}_{{k}_{n}}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$，
所以$3{k}_{n}={3}^{n}$，即${k}_{n}={3}^{n-1}$．
因此S_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1     ①
則$3{S}_{n}=1×{3}^{1}+2×{3}^{2}+3×{3}^{3}+…+n×{3}^{n}$      ②
由①-②得-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}-n×{3}^{n}$
=$-\frac{1}{2}-（n-\frac{1}{2}）×{3}^{n}$，
因此${S}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{{3}^{n}}{4}（2n-1）$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式、前n項和，注意挖掘隱含條件、積累解題方法，屬于中檔題．