Question

2．已知圓F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=9與圓F₂：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=1，以圓F₁、F₂的圓心分別為左右焦點的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過兩圓的交點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線x=2$\sqrt{3}$上有兩點M、N（M在第一象限）滿足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，直線MF₁與NF₂交于點Q，當(dāng)|MN|最小時，求線段MQ的長．

Answer 1

分析 （1）由題意，c=$\sqrt{3}$，兩圓的交點坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），代入橢圓方程可得$\frac{\frac{4}{3}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{2}{3}}{^{2}}$=1，聯(lián)立a²+b²=3，求出a，b，即可得到橢圓方程；
（2）求出M，N的坐標(biāo)，利用基本不等式求出|MN|的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，c=$\sqrt{3}$，兩圓的交點坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
代入橢圓方程可得$\frac{\frac{4}{3}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{2}{3}}{^{2}}$=1，
聯(lián)立a²+b²=3，可得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)直線MF₁的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$）（k＞0），可得M（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$k），
同理N（2$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{k}$），
∴|MN|=|$\sqrt{3}$（3k+$\frac{1}{k}$）|≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，|MN|取得最小值6，
此時M（2$\sqrt{3}$，3），|MF₁|=6，|QF₁|=3，
∴|MQ|=3．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線方程，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．