Question

18．橫截面為矩形的橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬的積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬的和高度應(yīng)是多少？

Answer 1

分析 據(jù)題意橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0）建立起強(qiáng)度函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)取到最大值時(shí)的橫斷面的值．

解答 解：設(shè)斷面高為h，則h²=d²-x²．
橫梁的強(qiáng)度函數(shù)f（x）=k•xh²，
所以f（x）=kx•（d²-x²），0＜x＜d．（5分）
當(dāng)x∈（0，d）時(shí)，令f′（x）=k（d²-3x²）=0．（7分）
解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍負(fù)）．（8分）
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d時(shí)，f′（x）＞0；（9分）
當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d時(shí)，f′（x）＜0．（10分）
因此，函數(shù)f（x）在定義域（0，d）內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d．
所以f（x）在x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d處取最大值，就是橫梁強(qiáng)度的最大值．（12分）
即當(dāng)斷面的寬為$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，高為$\frac{\sqrt{6}}{3}$d時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．（13分）

點(diǎn)評(píng) 考查據(jù)實(shí)際意義建立相關(guān)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導(dǎo)的方法來(lái)求最值．