Question

13．在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動中，某小組要測量河對面A和B兩個建筑物的距離，在河一側(cè)取C、D兩點，如圖所示，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得∠BAC=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=?．
（1）試求A、C之間的距離及B、C之間的距離．
（2）若a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，?=75°，求河對岸建筑物A、B之間的距離？

Answer 1

分析 （1）在△ADC、△DBC中，分別用正弦定理，即可求解；
（2）利用正弦定理，求出AC，BC，在△ABC中，由余弦定理得AB．

解答 解：（1）在△ADC中，∠ADC=?+γ，∠DAC=180°-（β+?+γ），CD=a．
由正弦定理，得AC=$\frac{asin（?+γ）}{sin（β+?+γ）}$．    …（3分）
在△DBC中，∠BDC=γ，∠DBC=180°-（α+β+γ），CD=a，．
由正弦定理，得BC=$\frac{asinγ}{sin（α+β+γ）}$   …（6分）
（2）a=50米，α=75°，β=30°，γ=45°，?=75°時，
AC=$\frac{50×sin（75°+45°）}{sin（30°+75°+45°）}$=50$\sqrt{3}$，…（8分）
BC=$\frac{50sin45°}{sin（75°+30°+45°）}$=50$\sqrt{2}$，…（9分）
在△ABC中，由余弦定理得AB=$\sqrt{7500+5000-2×50\sqrt{3}×50\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=25（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），…（10分）．
所以，河對岸建筑物A、B的距離為25（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）米． …（13分）

點評 本題考查正弦、余弦定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．