Question

已知函數(shù)f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=

π

2

．
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)F（ωπx）的圖象中至少有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)都落在橢圓x²+

y2

9

=1的內(nèi)部，求正數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,正弦函數(shù)的定義域和值域

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)，利用0＜φ＜π，圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=

π

2

，即可求的φ值；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（ωπx）的解析式，由三角函數(shù)的圖象平移可知要滿(mǎn)足函數(shù)f（ωπx）的圖象中至少有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)同時(shí)在橢圓x²+

y2

9

=1的內(nèi)部，則需至少一個(gè)最低點(diǎn)在橢圓x²+

y2

9

=1的內(nèi)部，由此列不等式求解正數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x=sin（2x+φ），
∵0＜φ＜π，圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=

π

2

，
∴φ=

π

2

；
（Ⅱ）F（x）=2f（x）+f′（x）=2cos2x-2sin2x=2

2

cos（2x+

π

4

），
∴F（ωπx）=2

2

cos（2ωπx+

π

4

），
該函數(shù)圖象是把y=cosx的圖象向左平移個(gè)

π

4

單位，然后把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2ωπ

，
再把圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2

2

倍得到的，
∴要使函數(shù)f（ωπx）的圖象中至少有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)同時(shí)在x²+

y2

9

=1的內(nèi)部，
則需至少一個(gè)最低點(diǎn)（

3

8ω

，-2

2

）在x²+

y2

9

=1的內(nèi)部，
即（

3

8ω

）²+

8

9

≤1，
∵ω＞0，
∴ω≥

9

8

，
∴正數(shù)a的取值范圍是[

9

8

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．