Question

某廠擬在2014年通過(guò)廣告促銷(xiāo)活動(dòng)推銷(xiāo)產(chǎn)品．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（假定年產(chǎn)量=年銷(xiāo)售量）x萬(wàn)件與年廣告費(fèi)用t（t≥0）萬(wàn)元滿足關(guān)系式：x=3-

k

t+1

（k為常數(shù)）．若不做廣告，則產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量恰好為1萬(wàn)件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品時(shí)，該廠需要先固定投入8萬(wàn)元，并且預(yù)計(jì)生產(chǎn)每1萬(wàn)件該產(chǎn)品時(shí)，需再投入4萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品所需的年平均成本的1.5倍（每件產(chǎn)品的成本包括固定投入和生產(chǎn)再投入兩部分，不包括廣告促銷(xiāo)費(fèi)用）．
（Ⅰ）將2014年該廠的年銷(xiāo)售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年廣告促銷(xiāo)費(fèi)用t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（Ⅱ）2014年廣告促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該廠將獲利最大？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題目中不做廣告，則產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量恰好為1萬(wàn)件，可得當(dāng)t=0時(shí)，x=1，可得k的值，即得x關(guān)于t的解析式；又每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5倍的成本，可得利潤(rùn)y與促銷(xiāo)費(fèi)用之間的關(guān)系式；
（Ⅱ）利用基本不等式求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得當(dāng)t=0時(shí)，x=1即，1=3-k，
∴k=2…（2分）
∴x=3-

2

t+1

∴y=x•

3

2

•

8+4x

x

-8-4x-t=2x-t+4=2(3-

2

t+1

)-t+4=10-(t+

4

t+1

)…（6分）
∴所求的函數(shù)解析式為y=10-(t+

4

t+1

)(t≥0)…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=11-[(t+1)+

4

t+1

]…（8分）
∵t≥0，
∴t+1＞0，
∴y≤11-2

4

=7，當(dāng)且僅當(dāng)t+1=

4

t+1

，即t=1時(shí)取等號(hào)．…（12分）
∴當(dāng)2014年廣告促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，該將獲利最大．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．