Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x-2，x≤1 - 1 x ，1＜x≤2 ax+a-1，x＞2

（1）若a=1，求方程|f（x）|=5的解．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）是單調遞增的，求實數(shù)a的范圍？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）當x≤1時，f（x）=-x²+2x-2，圖象是拋物線的一部分；當1＜x≤2時，f（x）=-

1

x

，圖象是反比例函數(shù)圖象的一部分；若a=1，x＞2時，函數(shù)f（x）=x+1-1=x，圖象是y=x的圖象的一部分，可畫出分段函數(shù)的圖象，結合圖象解方程．
（2）從圖象上看函數(shù)f（x）在x≤2時單調遞增，只需使當x＞2的函數(shù)f（x）=ax+a-1再單調遞增即可，由于函數(shù)f（x）=ax+a-1的圖象恒過點（-1，-1），結合圖象約束a的取值即可．

解答： 解：（1）當x≤1時，f（x）=-x²+2x-2，圖象是拋物線的一部分；當1＜x≤2時，f（x）=-

1

x

，圖象是反比例函數(shù)圖象的一部分；當a=1時，x＞2時，函數(shù)f（x）=x+1-1=x，圖象是y=x的圖象的一部分，畫出函數(shù)的圖象如圖所示，其中，M（-1，-1）、A（2，-

1

2

）

∵方程|f（x）|=5?f（x）=5或f（x）=-5
∴由圖象可知，要使f（x）=5，則f（x）=x；要使f（x）=-5，則f（x）=-x²+2x-2；
原方程可化為x=5或-x²+2x-2=-5，
解得x=5或x=-1．
（2）當x＞2時，f（x）=ax+a-1，由于f（-1）=-a+a-1=-1，
∴函數(shù)f（x）=ax+a-1的圖象恒過點（-1，-1），且a為直線y=ax+a-1的斜率，
因此要使f（x）在（-∞，+∞）是單調遞增的，斜率a≥k_MA，其中k_MA是直線MA的斜率，
∵k_MA=

- 1 2 -(-1)

2-(-1)

=

1

6

，∴a≥

1

6

點評：本題主要考查分段函數(shù)的內容，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決問題的關鍵．