Question

在三棱錐A-BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：AC⊥底面BCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得AC⊥BC．根據(jù)AC=a，∠ABC=30°，可得BC=

AC

tan30°

=

3

a．根據(jù)BD⊥DC，BD=DC，可得BD=CD=

3 a

2

，BD⊥AD.AD=

AC2+CD2

．設(shè)點C到平面ABD的距離為h．利用V_A-BCD=V_C-ABD，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵AC⊥底面BCD，∴AC⊥BC．
∵AC=a，∠ABC=30°，
∴BC=

AC

tan30°

=

3

a．
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴BD=CD=

3 a

2

，BD⊥AD．
又AD=

AC2+CD2

=

a2+( 3 a 2 )2

=

10

2

a．
設(shè)點C到平面ABD的距離為h．
∵V_A-BCD=V_C-ABD，
∴

1

3

•S△BCD•AC=

1

3

•S△ABD•h．
∴

1

2

×(

3 a

2

)2•a=

1

2

•

3 a

2

•10a2•h，
∴h=

15

5

a．

點評：本題綜合考查了線面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三垂線定理、三角形的面積計算公式、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．