Question

10．設(shè)點(diǎn)P（-2，0），Q（2，0），直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線l的斜率為1，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出直線MP、MQ的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是-$\frac{1}{4}$，建立方程，去掉不滿足條件的點(diǎn)，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)l：y=x+b，代入x²+4y²=4，結(jié)合題設(shè)條件利用橢圓的弦長(zhǎng)公式能求出弦AB長(zhǎng)，求出點(diǎn)O到直線l的距離，利用均值定理推導(dǎo)出S_△ABO=$\frac{1}{2}$|AB|•d≤1，并能求出此時(shí)直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由P（-2，0），Q（2，0），
所以k_MP=$\frac{y}{x+2}$（x≠-2），k_QM=$\frac{y}{x-2}$（x≠2），
由已知，$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$（x≠±2），
化簡(jiǎn)，得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2），
點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）；
（2）設(shè)l：y=x+b，代入x²+4y²=4，
整理得5x²+8bx+4b²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8b}{5}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-4}{5}$，
|AB|=$\sqrt{1+1}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64^{2}}{25}-\frac{16^{2}-16}{5}}$=$\frac{4}{5}$•$\sqrt{10-2^{2}}$．
由△＞0，得64b²-20（4b²-4）＞0，
解得b²＜5，
點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
即有S_△ABO=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{2}{5}$$\sqrt{（5-^{2}）^{2}}$≤$\frac{2}{5}$•$\frac{5-^{2}+^{2}}{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)5-b²=b²，即b=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
故（S_△ABO）_max=1，
此時(shí)l：2x-2y±$\sqrt{10}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，注意表示出直線MP、MQ的斜率，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、均值定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．