Question

19．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過焦點F₁的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為4π，設A，B的兩點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|y₁-y₂|值為5．

Answer 1

分析 由已知求出橢圓的焦點分別為F₁（-4，0）、F₂（4，0），△ABF₂的內(nèi)切圓半徑r=2，△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=20，再由△ABF₂的面積S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4|y₂-y₁|，由此能求出|y₁-y₂|的值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a²=25且b²=9，
∴a=5，c=$\sqrt{25-9}$=4，
∴橢圓的焦點分別為F₁（-4，0）、F₂（4，0），
設△ABF₂的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△ABF₂的內(nèi)切圓面積為S=πr²=4π，∴r=2，
根據(jù)橢圓的定義，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=20．
∴△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=$\frac{1}{2}$×20×2=20，
又∵△ABF₂的面積S=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|y₁|×|F₁F₂|+$\frac{1}{2}$×|y₂|×|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=4|y₂-y₁|（A、B在x軸的兩側(cè)）
∴4|y₁-y₂|=20，解得|y₁-y₂|=5．
故答案為：5．

點評 本題考查兩點縱坐標之差的絕對值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．