Question

18．如圖所示，三棱錐A-BCD的三條側棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影．
（1）求證：O為△BCD的垂心；
（2）類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側面與底面間的一個關系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）連接BO、DO，可以先證明出AB與平面ACD垂直，然后得到CD與AB垂直，再結合CD與AO垂直得到CD垂直于平面ABO，從而BO垂直于CD，同樣的我們可以證出DO垂直于BC，從而得出點O是三角形BDC的垂心．
（2）由勾股定理是平面二維的線與線之間的關系，類比到三維空間可猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD，S_△BCD² =$\frac{1}{4}$CD²•BE² =$\frac{1}{4}$CD²（AB²+AE²）=$\frac{1}{4}$（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化簡即得結論．

解答 （1）證明：如圖，連接BO、DO
∵BA⊥CA，BA⊥DA，CA∩DA=A
∴BA⊥平面ACD，結合CD?平面ACD
∴CD⊥BA
又∵AO⊥平面BDC，CD?平面BDC
∴CD⊥AO
∵AO∩BA=A
∴CD⊥平面ABO，得到BO⊥CD
∴BO為DC邊上的高
同理可得DO為BC邊上的高
因此O為三角形BDC的垂心；
（2）解：猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
直角空間四面體ABCD中，如圖作AE⊥CD連BE，
由AB，AC，AD兩兩垂直，可得A在底面的射影為底面△BCD的垂心，則BE⊥CD．
S_△BCD² =$\frac{1}{4}$CD²•BE² =$\frac{1}{4}$CD²（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=$\frac{1}{4}$（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．

點評 本題考查了三垂線定理及其逆定理在多面體中的應用，屬于中檔題．本題考查了三垂線定理及其逆定理在多面體中的應用，屬于中檔題．考查類比推理，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想．其中由二維到三維的類比推理要注意點的性質往往推廣為線的性質，線的性質往往推廣為面的性質．