Question

19．已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a），$f（2）=2，{a_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2n}（n∈{N^*}），{b_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2^n}（n∈{N^*}）$，則數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

Answer 1

分析 運(yùn)用抽象函數(shù)和等差數(shù)列的定義，可得b_n=n，再求a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{2n}$=2^n-1，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：由f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，（n∈N^*），
b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$，b_n+1=$\frac{f（{2}^{n+1}）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2f（{2}^{n}）+{2}^{n}•f（2）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$+1=b_n+1，
則b_n為等差數(shù)列，b_n=b₁+n-1=$\frac{f（2）}{2}$+n-1=n，
f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，
∴a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{2n}$=2^n-1，
a_nb_n=n•2^n-1，
設(shè)S_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
兩式相減可得-S_n=1+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故答案為：（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，以及抽象函數(shù)的賦值法的運(yùn)用，屬于中檔題．