Question

17．如圖，已知P為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，Q為射線y=$\sqrt{3}$x（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，△POQ的面積為8，求線段PQ的中心R的軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 設(shè)線段PQ的中點(diǎn)R（x，y），則x_P+x_Q=2x，0+y_Q=2y．可得x_P=2x-x_Q＞0，y_Q=2y．代入$\frac{1}{2}{x}_{P}$$•\sqrt{{x}_{Q}^{2}+{y}_{Q}^{2}}$=8，${y}_{Q}=\sqrt{3}{x}_{Q}$，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：設(shè)線段PQ的中點(diǎn)R（x，y），則x_P+x_Q=2x，0+y_Q=2y．
∴x_P=2x-x_Q＞0，y_Q=2y．
又$\frac{1}{2}{x}_{P}$$•\sqrt{{x}_{Q}^{2}+{y}_{Q}^{2}}$=8，${y}_{Q}=\sqrt{3}{x}_{Q}$，
∴$\frac{1}{2}（2x-\frac{2y}{\sqrt{3}}）$•$\sqrt{（\frac{2y}{\sqrt{3}}）^{2}+（2y）^{2}}$=8，
化為$\sqrt{3}xy-{y}^{2}$-6=0．
∴線段PQ的中心R的軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{x\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{2\sqrt{3}}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．