Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)于任意的n∈N^*，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，而a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5構(gòu)成公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，且a_n＜M恒成立，則M的最小值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 可由題意求得數(shù)列的前15項(xiàng)，觀察得到，連續(xù)5項(xiàng)，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，令a_4k+3=b_k，由數(shù)列的恒等式和等比數(shù)列的求和公式，求出b_n的通項(xiàng)，即可得到b_n的范圍，進(jìn)而得到M的最小值．

解答 解：由題意可得數(shù)列{a_n}中的前幾項(xiàng)：
1，3，5，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{4}$，$\frac{21}{4}$，$\frac{21}{8}$，$\frac{21}{16}$，$\frac{53}{16}$，$\frac{85}{16}$，$\frac{85}{32}$，$\frac{85}{64}$，$\frac{213}{64}$，$\frac{341}{64}$，…，
觀察得到，連續(xù)5項(xiàng)，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，
令a_4k+3=b_k，b₀=5，b₁=$\frac{21}{4}$，b₂=$\frac{85}{16}$，b₃=$\frac{341}{64}$，…，
若b_k=$\frac{{x}_{k}}{{4}^{k}}$，則b_k+1=$\frac{4{x}_{k}+1}{{4}^{k+1}}$=$\frac{{x}_{k}}{{4}^{k}}$+$\frac{1}{{4}^{k+1}}$=b_k+$\frac{1}{{4}^{k+1}}$，
即有b_k+1-b_k=$\frac{1}{{4}^{k+1}}$，
則有b_n=b₀+（b₁-b₀）+…+（b_n-b_n-1）
=5+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+…$\frac{1}{{4}^{n}}$=5+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{16}{3}$-$\frac{1}{3•{4}^{n}}$，
即a_4n+3=$\frac{16}{3}$-$\frac{1}{3•{4}^{n}}$是遞增數(shù)列，
且a_4n+3＜$\frac{16}{3}$，
由于對(duì)每個(gè)n，a_4n+1，a_4n+2，a_4n+3，a_4n+4，a_4n+5中，a_4n+3最大，
則對(duì)n∈N，都有a_n＜$\frac{16}{3}$．
由a_n＜M恒成立，
則有M≥$\frac{16}{3}$．即M的最小值為$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為2012年江西預(yù)賽試題的改編題，考查數(shù)列的通項(xiàng)及單調(diào)性和最值問(wèn)題，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題．