Question

3．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）外一點(diǎn)P（x₀，y₀），求證：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$-1）²表示過點(diǎn)P的橢圓的兩條切線．

Answer 1

分析 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），把y=y₀+kx-kx₀，代入橢圓方程可得：b²x²+a²$（kx+{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$=a²b²，展開可得△=0，化為：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）{k}^{2}$+2x₀y₀k+$^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，把k=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$（x≠x₀）代入上式化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 證明：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
把y=y₀+kx-kx₀，代入橢圓方程可得：b²x²+a²$（kx+{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$=a²b²，
展開為：（b²+a²k²）x²+2a²k（y₀-kx₀）x+${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²=0，
∵直線與橢圓相切，∴△=$4{a}^{4}{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-4（b²+a²k²）[${a}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-a²b²]=0，
化為：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）{k}^{2}$+2x₀y₀k+$^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，
把k=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$（x≠x₀）代入上式可得：化為：$（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$×$（\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}）^{2}$+2x₀y₀×$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$+$^{2}-{y}_{0}^{2}$=0，
化簡(jiǎn)整理即可得：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$-1）²表示過點(diǎn)P的橢圓的兩條切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．