Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（3，1）在橢圓上，△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{2}$，點Q是PF₂的延長線與橢圓的交點．
（1）①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②若∠PQF₁=$\frac{π}{3}$，求QF₁•QF₂的值；
（2）直線y=x+k與橢圓C相交于A，B兩點．若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面積S_△PF1F2=$\frac{1}{2}$•2c•1，即可求得c=2$\sqrt{2}$，將點P（3，1）代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及完全平方公式，即可求得QF₁•QF₂的值；
（2）將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得x₁•x₂及y₁•y₂，由題意可知 $\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得實數(shù)k的值．

解答 解：（1）①由條件，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，把點P（3，1）代入橢圓方程，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}=1$，
由S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•1=2$\sqrt{2}$，即c=2$\sqrt{2}$…（2分）
又a²=b²+c²，
∴a²=12，b²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$$+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
②當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，由$Q{F}_{1}+Q{F}_{2}=2a=4\sqrt{3}$，$Q{{F}_{1}}^{2}+Q{{F}_{2}}^{2}-2Q{F}_{1}Q{F}_{2}•cosθ$=F₁F₂²
可得QF₁•QF₂=$\frac{16}{3}$
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$，得4x²+6kx+3k²-12=0．
由韋達(dá)定理及直線方程可知：x₁+x₂=-$\frac{3k}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-12}{4}$，y₁y₂$\frac{{k}^{2}-12}{4}$．
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=k²-6=0
解得：k=$±\sqrt{6}$，此時△=120＞0，滿足條件，
因此k=$±\sqrt{6}$…（14分）

點評 題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積公式，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)的綜合運用，考查計算能力，屬于中檔題．